The verb "suis" means "to have", does it not?

You might want to consult a French grammar. The verb être 'to be' is conjugated in the present indicative:

je suis
tu es
il est
nous sommes
vous êtes
ils sont

The verb avoir 'to have' is in the present indicative:

j'ai
tu as
il a
nous avons
vous avez
ils ont

Ceci n'est pas un seing.